柱坐标系下的ns方程_从带号面积到坐标系的建立-CSDN博客

　　最常用的笛卡尔坐标系是怎么来的？其实这可以从面积推出来。

注：本文中出现的

都表示有向线段，

表示有向面积，角一般都为有向角，其他符号参照文中定义

　　定义：

对于同一个多边形，依照边界的走向来确定面积的正负，例如下图：

　　有向角的定义：对于

则

，反之为负角

　　好处：可以简洁明了地表示几何关系

对于直线BC上的点P，总有

对于组成四边形的两个三角形，总有

带号面积的公式

共边比例定理

（上标的箭头表示有向线段）

张角定理用有向角表示

……

　　面积坐标

　　取一个边的走向确定的定向三角形

和一个点

，记：

　　则

对于

的坐标为

称作面积坐标，也可以写为

　　若

就称为右手坐标系，反之即为左手坐标系

　　重心坐标

　　现在给出三者之比

　　则

的齐次面积坐标为

　　通常也称为重心坐标，若给质点赋予质量如下

　　则这三点重心位于M点（物理意义）

　　重心坐标和面积坐标的互换

　　记M面积坐标

，则

　　记M重心坐标

，则

　　当

时，称

是规范重心坐标

　　上式为0，则代表无穷远点

　　仿射坐标系和笛卡尔坐标系

　　既然知道

坐标中的两个坐标分量就可以确定M，直接写成

即可

　　为了更精准的表示参照物，我们把

称作坐标系

下M的仿射坐标，

是这个仿射坐标系的原点

　　当

，则

就是笛卡尔坐标系，也就是常用的平面直角坐标系

三：面积坐标的基本公式

　　定比分点公式

　　对于面积坐标系中的

，

在直线

上，若有向线段

，则：

　　证明：如图

　　，即需证明

（定比分点定理）

　　代入

即可

　　直线方程式

　　设直线l上有点

，则直线上的任意点

（其中有向线段

）应满足方程组

　　消去参数

，得到

　　上式就是面积坐标系的直线方程

　　把上面的行列式第一第二行加到第三行上，第三行除以坐标面积

，得

　　上式就是仿射坐标系的直线方程

　　将

展开，有

　　是面积坐标系或重心坐标系的直线方程的一般形式

　　的几何意义

　　对于面积坐标系

中的直线

，

到

的带号距离

，规定若

在

同侧，则

同号，否则异号，则

　　证明：如图，

　　因为

在

上，所以

，于是

　　得证

　　两点间距离公式

　　如图，

，作

　　记

　　则容易求出

　　由余弦定理，

　　当

时，考虑到上述公式的不对称性，记

　　则可以快速得到

注：

是勾股差的一半

张景中《从数学教育到教育数学》《初等数学论丛》杨路《谈谈重心坐标》